Question

【題目】設， ，……， ，（n為正整數）

（1）試說明是8的倍數；

（2）若△ABC的三條邊長分別為、、（為正整數）

①求的取值范圍.

②是否存在這樣的，使得△ABC的周長為一個完全平方數，若存在，試舉出一例，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①k＞1；②當k=5時，△ABC的周長為一個完全平方數．

【解析】試題分析：（1）根據題意可以對an進行化簡，從而可以解答本題；（2）①根據（1）中的結果，可以得到ak、ak+1、ak+2的值，從而可以得到k的取值范圍；②根據①中ak、ak+1、ak+2的值，可以求得△ABC的周長，從而可以解答本題．

試題解析：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2

=[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]=2×4n=8n，

∵8n能被8整除，∴an是8的倍數；

（2）①由（1）可得，ak=8k，ak+1=8（k+1），ak+2=8（k+2），

∴8k+8（k+1）＞8（k+2），解得，k＞1，即k的取值范圍是：k＞1；

②存在這樣的k，使得△ABC的周長為一個完全平方數，

理由：∵△ABC的周長是：8k+8（k+1）+8（k+2）=24k+24=24（k+1）=4×6×（k+1），

∴△ABC的周長為一個完全平方數，則k+1=6得k=5即可，

即當k=5時，△ABC的周長為一個完全平方數．