Question

【題目】問題情境：

我們知道若一個(gè)矩形的周長(zhǎng)固定，當(dāng)相鄰兩邊相等，即為正方形時(shí)，面積是最大的，反過來，若一個(gè)矩形的面積固定，它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢？

方法探究：

用兩條直角邊分別為、的四個(gè)全等的直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，

若，可以拼成如圖1的正方形，從而得到，即；

若，可以拼成如圖2的正方形，從而得到，即．

于是我們可以得到結(jié)論：，為正數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，代數(shù)式取得最小值為．

另外，我們也可以通過代數(shù)式運(yùn)算得到類似上面的結(jié)論．

∵，

∴，，

∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，總有，

且當(dāng)時(shí)，代數(shù)式取得最小值為．

類比應(yīng)用：

（1）對(duì)于正數(shù)，，試比較和的大小關(guān)系，并說明理由．

（2）填空：

當(dāng)時(shí)，________．

代數(shù)式有最________值為________．

問題解決：

（3）若一個(gè)矩形的面積固定為，它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢？若有，求出周長(zhǎng)的最值，及此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；小；；（3）若一個(gè)矩形的面積固定為，它的周長(zhǎng)是有最小值，周長(zhǎng)的最小值為，矩形的長(zhǎng)和寬均為

【解析】

（1）根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即得出結(jié)論；

（2）先將代數(shù)式－2，再＋2，根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即得出結(jié)論；

（3）設(shè)該矩形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)，結(jié)合矩形的周長(zhǎng)和面積公式即可得出結(jié)論．

探究方法：

（1）解：∵當(dāng)，均為正數(shù)時(shí)，

∵

∴，

∴.

類比應(yīng)用：

（2）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知：

當(dāng)時(shí)，，代數(shù)式有最小值為.

（3）問題解決：

解：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為，寬為，

根據(jù)題意知：周長(zhǎng)，

且當(dāng)時(shí)，代數(shù)式取得最小值為，

此時(shí).

故若一個(gè)矩形的面積固定為，它的周長(zhǎng)是有最小值，周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬均為.