Question

【題目】如圖1，圖形ABCD是由兩個二次函數y1=kx2+m（k＜0）與y2=ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．

（1）直接寫出這兩個二次函數的表達式；

（2）判斷圖形ABCD是否存在內接正方形（正方形的四個頂點在圖形ABCD上），并說明理由；

（3）如圖2，連接BC，CD，AD，在坐標平面內，求使得△BDC與△ADE相似（其中點C與點E是對應頂點）的點E的坐標

Answer 1

【答案】（1）y1=﹣x2+1，y2=3x2﹣3；（2）存在，理由見解析；（3）（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．

【解析】（1）利用待定系數法即可得出結論；

（2）先確定出MM'=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，進而建立方程2m=4-4m2，即可得出結論；

（3）先利用勾股定理求出AD=，同理：CD=，BC=，再分兩種情況：

①如圖1，當△DBC∽△DAE時，得出，進而求出DE=，即可得出E（0，-），

再判斷出△DEF∽△DAO，得出，求出DF=，EF=，再用面積法求出E'M=，即可得出結論；

②如圖2，當△DBC∽△ADE時，得出，求出AE=，

當E在直線AD左側時，先利用勾股定理求出PA=，PO=，進而得出PE=，再判斷出，即可得出點E坐標，當E'在直線DA右側時，即可得出結論．

（1）∵點A（1，0），B（0，1）在二次函數y1=kx2+m（k＜0）的圖象上，

∴，

∴，

∴二次函數解析式為y1=-x2+1，

∵點A（1，0），D（0，-3）在二次函數y2=ax2+b（a＞0）的圖象上，

∴，

∴，

∴二次函數y2=3x2-3；

（2）設M（m，-m2+1）為第一象限內的圖形ABCD上一點，M'（m，3m2-3）為第四象限的圖形上一點，

∴MM'=（1-m2）-（3m2-3）=4-4m2，

由拋物線的對稱性知，若有內接正方形，

∴2m=4-4m2，

∴m=或m=（舍），

∵0＜＜1，

∴存在內接正方形，此時其邊長為；

（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，

∴AD=，

同理：CD=，

在Rt△BOC中，OB=OC=1，

∴BC=，

①如圖1，當△DBC∽△DAE時，

∵∠CDB=∠ADO，

∴在y軸上存在E，由，

∴，

∴DE=，

∵D（0，-3），

∴E（0，-），

由對稱性知，在直線DA右側還存在一點E'使得△DBC∽△DAE'，

連接EE'交DA于F點，作E'M⊥OD于M，連接E'D，

∵E，E'關于DA對稱，

∴DF垂直平分EE'，

∴△DEF∽△DAO，

∴，

∴，

∴DF=，EF=，

∵S△DEE'=DEE'M=EF×DF=，

∴E'M=，

∵DE'=DE=，

在Rt△DE'M中，DM=，

∴OM=1，

∴E'（，-1），

②如圖2，

當△DBC∽△ADE時，有∠BDC=∠DAE，，

∴，

∴AE=，

當E在直線AD左側時，設AE交y軸于P，作EQ⊥AC于Q，

∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，

∴PD=PA，

設PD=n，

∴PO=3-n，PA=n，

在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，

∴n2=（3-n）2+1，

∴n=，

∴PA=，PO=，

∵AE=，

∴PE=，

在AEQ中，OP∥EQ，

∴，

∴OQ=，

∵，

∴QE=2，

∴E（-，-2），

當E'在直線DA右側時，

根據勾股定理得，AE=，

∴AE'=

∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，

∴∠BDA=∠DAE'，

∴AE'∥OD，

∴E'（1，-），

綜上，使得△BDC與△ADE相似（其中點C與E是對應頂點）的點E的坐標有4個，

即：（0，-）或（，-1）或（1，-）或（-，-2）．