Question

已知拋物線y=x²-4x+1，將此拋物線沿x軸方向向左平移4個單位長度，得到一條新的拋物線．
（1）求平移后的拋物線解析式；
（2）由拋物線對稱軸知識我們已經知道：直線x=m，即為過點（m，0）平行于y軸的直線，類似地，直線y=m，即為過點（0，m）平行于x軸的直線、請結合圖象回答：當直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個交點，實數m的取值范圍；
（3）若將已知的拋物線解析式改為y=x²+bx+c（b＜0），并將此拋物線沿x軸向左平移-b個單位長度，試回答（2）中的問題．

Answer 1

分析：（1）將已知的拋物線化為頂點式，然后根據“左加右減，上加下減”的平移規律進行解答；
（2）畫出兩個拋物線的大致圖象，可以看出只有當直線y=m在直線y=-3上方時，直線y=m與兩個拋物線才有4個交點；（m=1除外，因為當m=1時，y=m與兩條拋物線只有3個交點）
（3）方法同（2）．

解答：解：（1）由題意，得：y=x²-4x+1=（x-2）²-3；
向左平移4個單位，得y=（x+2）²-3；
∴平移后拋物線的解析式為y=x²+4x+1；

（2）由（1）知，兩拋物線的頂點坐標分別為（2，-3）和（-2，-3），與y軸的交點為（0，1）；
由圖象知，若直線y=m與兩條拋物線有且只有4個交點時，m＞-3且m≠1；

（3）由y=x²+bx+c配方得：y=（x+

b

2

）²+

4c-b2

4

；
向左平移-b個單位長度得：y=（x-

b

2

）²+

4c-b2

4

；
∴兩拋物線的頂點坐標分別為（-

b

2

，

4c-b2

4

），（

b

2

，

4c-b2

4

）；
與y軸的交點為（0，c）；
利用（2）的圖象知，實數m的取值范圍是：m＞

4c-b2

4

，且m≠c．

點評：此題主要考查了二次函數圖象的平移，以及根據二次函數的圖象解決問題的能力．