Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點B，C，正方形AOCD的頂點D在第二象限內，E是BC中點，OF⊥DE于點F，連結OE，動點P在AO上從點A向終點O勻速運動，同時，動點Q在直線BC上從某點Q1向終點Q2勻速運動，它們同時到達終點．

（1）求點B的坐標和OE的長；

（2）設點Q2為(m，n)，當tan∠EOF時，求點Q2的坐標；

（3）根據（2）的條件，當點P運動到AO中點時，點Q恰好與點C重合．

①延長AD交直線BC于點Q3，當點Q在線段Q2Q3上時，設Q3Q＝s，AP＝t，求s關于t的函數表達式．

②當PQ與△OEF的一邊平行時，求所有滿足條件的AP的長．

Answer 1

【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的長為或.

【解析】

（1）令y＝0，可得B的坐標，利用勾股定理可得BC的長，即可得到OE；

（2）如圖，作輔助線，證明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，計算EN的長，根據面積法可得OF的長，利用勾股定理得OF的長，由和，可得結論；

（3）①先設s關于t成一次函數關系，設s＝kt＋b，根據當點P運動到AO中點時，點Q恰好與點C重合，得t＝2時，CD＝4，DQ3＝2，s＝，根據Q3（4，6），Q2（6，1），可得t＝4時，s＝，利用待定系數法可得s關于t的函數表達式；

②分三種情況：

（i）當PQ∥OE時，根據，表示BH的長，根據AB＝12，列方程可得t的值；

（ii）當PQ∥OF時，根據tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程為2t2＝ (7t)，可得t的值．

（iii）由圖形可知PQ不可能與EF平行．

解：（1）令，則，

∴，

∴為.

∵為，

在中，.

又∵為中點，∴.

（2）如圖，作于點，則，

∴，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴，

由勾股定理得，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴為.

（3）①∵動點同時作勻速直線運動，

∴關于成一次函數關系，設，

將和代入得，解得，

∴.

②（ⅰ）當時，（如圖），，

作軸于點，則.

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（ⅱ）當時（如圖），過點作于點，過點作于點，由得.

∵,

∴,

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴.

（ⅲ）由圖形可知不可能與平行.

綜上所述，當與的一邊平行時，的長為或.