Question

閱讀下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)；

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)；

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)；

1

2003×2005

=

1

2

(

1

2003

-

1

2005

)
…
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2003×2005

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2003

-

1

2005

)
解答下列問(wèn)題：
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第5項(xiàng)為

 

，第n項(xiàng)為

 

，上述求和的想法是：將和式中的各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)之差，使得首末兩項(xiàng)外的中間各項(xiàng)可以

 

，從而達(dá)到求和目的．
（2）利用上述結(jié)論計(jì)算

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+

1

(x+4)(x+6)

+…+

1

(x+2004)(x+2006)

．

Answer 1

分析：（1）是一道規(guī)律題，每個(gè)加式的分母是兩個(gè)相鄰的奇數(shù)的積，分子都是1，第n項(xiàng)的分母是（2n-1）（2n+1）．從而求得結(jié)果．
（2）利用閱讀材料告訴的方法和規(guī)律計(jì)算分式的加減法．

解答：解：（1）通過(guò)觀察規(guī)律得知這些式子的分子都為1，第n項(xiàng)加式的分母為（2n-1）（2n+1），
∴第5項(xiàng)為

1

9×11

第n項(xiàng)為

1

(2n-1)(2n+1)

，使得首末兩項(xiàng)外的中間各項(xiàng)可以化為0，從而求解．

（2）原式=

1

2

(

1

x

-

1

x+2

)+

1

2

(

1

x+2

-

1

x+4

)+…+

1

2

(

1

x+2004

-

1

x+2006

)
=

1

2

(

1

x

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+4

…+

1

x+2004

-

1

x+2006

)
=

1

2

(

1

x

-

1

x+2006

)
=

1003

x(x+2006)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的加減法計(jì)算，要求學(xué)生通過(guò)閱讀材料，尋找解題的規(guī)律和方法是一道理解和運(yùn)用較強(qiáng)的分式加減計(jì)算題．