Question

閱讀下列材料：

1

1+ 2

=

2 -1

(1+ 2 )( 2 -1)

=

2

-1，

1

2 + 3

=

3 - 2

( 2 + 3 )( 3 - 2 )

=

3

-

2

，

1

3 +2

=

2- 3

( 3 +2)(2- 3 )

=2-

3

，

1

2+ 5

=

5 -2

(2+ 5 )( 5 -2)

=

5

-2．讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）

1

3+ 10

=

10

-3

；
（2）

1

n + n+1

=

n+1

-

n

；
（3）

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 +2

+…+

1

2010 + 2011

=

2011

-1

．

Answer 1

分析：（1）由已知條件觀察分母的變化，可以得出分母是連續兩個有理數的算術平方根的和結果是較大與較小兩算術平方根的差，即可得出所求答案．
（2）由已知條件觀察分母的變化，可以得出分母是連續兩個有理數的算術平方根的和結果是較大與較小兩算術平方根的差，即可得出所求答案．
（3）根據以上規律求出所有數的和即可．

解答：解：（1）∵閱讀下列材料：

1

1+ 2

=

2 -1

(1+ 2 )( 2 -1)

=

2

-1，

1

2 + 3

=

3 - 2

( 2 + 3 )( 3 - 2 )

=

3

-

2

，

1

3 +2

=

2- 3

( 3 +2)(2- 3 )

=2-

3

，

1

2+ 5

=

5 -2

(2+ 5 )( 5 -2)

=

5

-2．
∴

1

3+ 10

=

10

-3；

（2）故：

1

n + n+1

=

n+1

-

n

；

（3）

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 +2

+…+

1

2010 + 2011

，
=

2

-1+

3

-

2

+4-

3

+…+

2011

-

2010

，
=

2011

-1．…（4分）
故答案為：（1）

10

-3，（2）

n+1

-

n

，（3）

2011

-1．

點評：此題主要考查了數字變化規律，注意從已知入手，分析數據真正的變化情況，是解決問題的關鍵．