Question

已知如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．過點F作FM垂直于DC，交直線DC于M．
（1）如果DG=2，那么FM=______（畫出對應圖形會變得更簡單！）
（2）當E，G在正方形邊上移動時，猜測FM的值是否發生改變，并證明你的結論．
（3）設DG=x，用含x的代數式表示△FCG的面積S；判斷S能否等于1，若能求x的值，若不能請說明理由．
（溫馨提示：不要忘記頂點E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上哦！）

Answer 1

（1）如圖所示，∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△AEH與Rt△DHG中，

HG=HE AH=DG

，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL），
∴AE=DH，∠AEH=∠DHG，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠GHE=180°-90°=90°，
∴菱形EFGH是正方形，
由圖形可知△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴FM=DG=2，
故答案為：2；

（2）FM的值不會發生改變．理由如下：
如圖，過點F作FN∥DM，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴FN∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴∠HEF+∠GFE=180°，
即∠2+∠3+∠HEF=180°，
又∠4+∠5+∠HEF=180°，
∴∠1=∠5，
在△AEH與△MGF中，

∠A=∠M=90° ∠1=∠5 HE=FG

，
∴△AEH≌△MGF（AAS），
∴FM=AH，
∵AH=2，
∴FM=2，是常數不變；

（3）結合圖形可得，S=

1

2

CG•FM=

1

2

×（6-x）×2=6-x，
假設S能等于1，則x=5，
∴DG=5，
在Rt△HDG中，HG²=DH²+DG²，
即HG²=（6-2）²+（6-1）²=16+25=41，
∴菱形EFGH的邊HE²=41，
在Rt△AEH中，AE=

HE2-AH2

=

41-22

=

37

＞6，
∵AB=6，
∴點E在AB的延長線上，不在邊AB上，不符合題意，
∴假設不成立，即S不能等于1．