Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E．連結DE，使四邊形DEBA為⊙O的內接四邊形．

（1）求證：∠A=∠ABM=∠MDE；

（2）若AB=6，當AD=2DM時，求DE的長度；

（3）連接OD，OE，當∠A的度數為60°時，求證：四邊形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）證明見解析

【解析】試題分析：

（1）由∠ABC=90°及M是AC的中點可得AM=CM=BM，從而可得∠A=∠ABM，由四邊形DEBA為⊙O的內接四邊形可得∠ABM=∠MDE，由此即可得到∠A=∠ABM=∠MDE；

（2） 由（1）中結論可得DE∥AB，由此可得∴△MDE∽△MAB，從而可得結合AD=2DM及AB=6即可解得DE=2；

（3）如下圖，由（1）中結論和∠A=60°易得∠AMB=60°，結合OA=OD=OE=OB可得△AOD、△OBE都是等邊三角形，由此可得∠ADO=∠AMB=∠OEB=60°，由此可得OD∥BM，AM∥OE，這樣即可得到四邊形ODME是平行四邊形，再結合OD=OE即可得到四邊形ODME是菱形.

試題解析：

（1）∵∠ABC=90°，點M是AC的中點，

∴AM=CM=BM．

∴∠A=∠ABM．

∵四邊形DEBA為⊙O的內接四邊形，

∴∠ABM=∠MDE，

∴∠A=∠ABM=∠MDE．

（2）由（1）知∠A=∠ABM=∠MDE，

∴DE∥AB

∴△MDE∽△MAB

∴，

∵AD=2DM，

∴AM=3DM

∴，

∴DE=2．

（3）由（1）知∠A=∠ABM=∠MDE，

∵∠A=60°，

∴∠A=∠ABM=∠MDE=60°

∴∠AMB=60°

又∵OA=OD=OE=OB

∴△AOD、△OBE都是等邊三角形

∴∠ADO=∠AMB=∠OEB=60°，

∴OD∥BM，AM∥OE

∴四邊形ODME是平行四邊形，

又∵OD=OE

∴四邊形ODME是菱形