Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y的正半軸上，點B的坐標是（5，3），拋物線y=

3

5

x²+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一個交點是點D，連接BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是拋物線對稱軸上的一點，以M、B、D為頂點的三角形的面積是6，求點M的坐標；
（3）點P從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動，當點P到達點B時，P、Q同時停止運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？請直接寫出所有符合條件的值．

Answer 1

（1）∵矩形ABCD，B（5，3），
∴A（5，0），C（0，3）．
∵點A（5，0），C（0，3）在拋物線y=

3

5

x²+bx+c上，
∴

3 5 ×25+5b+c=0 c=3

，解得：b=-

18

5

，c=3．
∴拋物線的解析式為：y=

3

5

x²-

18

5

x+3．

（2）如答圖1所示，
∵y=

3

5

x²-

18

5

x+3=

3

5

（x-3）²-

12

5

，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3．
如答圖1所示，設對稱軸與BD交于點G，與x軸交于點H，則H（3，0）．

令y=0，即

3

5

x²-

18

5

x+3=0，解得x=1或x=5．
∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．
∵tan∠ADB=

AB

AD

=

3

4

，∴GH=DH•tan∠ADB=2×

3

4

=

3

2

，
∴G（3，

3

2

）．
∵S_△MBD=6，即S_△MDG+S_△MBG=6，
∴

1

2

MG•DH+

1

2

MG•AH=6，
即：

1

2

MG×2+

1

2

MG×2=6，
解得：MG=3．
∴點M的坐標為（3，

9

2

）或（3，-

3

2

）．

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，則BD=5，∴sinB=

4

5

，cosB=

3

5

．
以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則：
①若PD=PQ，如答圖2所示：
此時有PD=PQ=BQ=t，過點Q作QE⊥BD于點E，
則BE=PE，BE=BQ•cosB=

3

5

t，QE=BQ•sinB=

4

5

t，
∴DE=t+

3

5

t=

8

5

t．
由勾股定理得：DQ²=DE²+QE²=AD²+AQ²，
即（

8

5

t）²+（

4

5

t）²=4²+（3-t）²，
整理得：11t²+6t-25=0，
解得：t=

25

11

或t=-5（舍去），
∴t=

25

11

；

②若PD=DQ，如答圖3所示：
此時PD=t，DQ=AB+AD-t=7-t，
∴t=7-t，
∴t=

7

2

；
③若PQ=DQ，如答圖4所示：
∵PD=t，∴BP=5-t；
∵DQ=7-t，∴PQ=7-t，AQ=4-（7-t）=t-3．
過點P作PF⊥AB于點F，則PF=PB•sinB=（5-t）×

4

5

=4-

4

5

t，BF=PB•cosB=（5-t）×

3

5

=3-

3

5

t．
∴AF=AB-BF=3-（3-

3

5

t）=

3

5

t．
過點P作PE⊥AD于點E，則PEAF為矩形，
∴PE=AF=

3

5

t，AE=PF=4-

4

5

t，∴EQ=AQ-AE=（t-3）-（4-

4

5

t）=

9

5

t-7．
在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ²+PE²=PQ²，
即：（

9

5

t-7）²+（

3

5

t）²=（7-t）²，
整理得：13t²-56t=0，
解得：t=0（舍去）或t=

56

13

．
∴t=

56

13

．
綜上所述，當t=

25

11

，t=

7

2

或t=

56

13

時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．