Question

如圖，在矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB、CD的延長線分別交于E、F.

（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當EF與AC滿足____▲_____關系時，以A、E、C、F為頂點的四邊形是菱形.

Answer 1

（1）見解析（2）EF⊥AC

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的對角線互相平分），
AE∥CF（矩形的對邊平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．（4分）
（2）解：當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．（5分）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的對角線互相平分）．
又由（1）△BOE≌△DOF得，
OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（6分）
又EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．（8分）
（1）由矩形的性質：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；
（2）根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形求證