Question

如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA 的延長線的垂線EF，垂足為F。

（1）找出圖中與EF相等的線段，并證明你的結論；
（2）求AF的長。

Answer 1

（1）AF=EF；
理由如下：連接AE，
∵△DBE是正三角形，
∴EB=ED．
∵AD=AB，AE=AE，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠BEA=∠DEA=×60°=30°．
∵∠EDA=∠EDB-∠ADB=60°-45°=15°，
∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°．
∵EF⊥AD，
∴△EFA是等腰直角三角形．
∴EF=AF．
（2）設AF=x，
∵AD=2，BD=2=ED，FD=2+x，
在Rt△EFD中，
由勾股定理得EF²+FD²=ED²
即x²+（2+x）²=（2）²
∴x=-1（x=--1舍去），∴AF=-1．

（1）連接AE，首先證明△ABE≌△ADE得到∠BEA=30°，再根據題意∠EAF=∠AED+∠ADE=45°，又知EF⊥AD，故可得AF=EF，
（2）設AF=x，由勾股定理得EF²+FD²=ED²，列出等量關系式，解得x．