Question

【題目】如圖，已知A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，P是直徑CD的延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：AP與⊙O相切；

（2）如果PD=，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質,得出∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∠PAC=120°，進而得出∠PAO=90°，即可得出答案；（2）首先根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得半徑，從而求得OA、OP，進而利用勾股定理得出AP的長．

試題解析：（1）如圖：連接AO，

∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵AO=CO，AP=AC，∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，∴AP是⊙O的切線；（2）設⊙O的半徑為R，則OA=OD=R，PD=，∴OP=+R，∵∠PAO=90°，∠P=30°，∴OP=2OA，即+R=2R，解得R=，∴OA=，OP=2，根據勾股定理得：PA=,AP===3．故AP長為3.