Question

【題目】在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直線AB上兩點．∠DCE=45°

（1）當CE⊥AB時，點D與點A重合，求證：DE2=AD2+BE2

（2）當AB=4時，求點E到線段AC的最短距離

（3）當點D不與點A重合時，探究：DE2=AD2+BE2是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）成立，證明見詳解.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質直接得出結果；

（2）當CE⊥AB時，點D與點A重合時，點E到AC的距離最短；過點E作EG⊥AC于點G，由等腰直角三角形的性質，得到AG=GE，然后利用勾股定理即可得到GE的長度；

（3）作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答；

（1）解：如圖：當CE⊥AB時，點D與點A重合，

∵CE⊥AB，

∴AE=BE，

∵點D與點A重合，

∴DE=BE，

∴DE2=AD2+BE2；

（2）根據題意，當CE⊥AB時，點D與點A重合時，點E到AC的距離最短；

過點E作EG⊥AC于點G，如圖：

在等腰直角三角形ABC中，

∠A=45°，AE=BE=，

∴△AGE是等腰直角三角形，即AG=GE，

由勾股定理，得：，

∴，

∴；

∴點E到線段AC的最短距離為：；

（3）成立；

證明：過點A作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，CF，

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠FAC=45°，

∴△CAF≌△CBE（SAS），

∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，

∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，

∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，

∵∠ACF=∠BCE，

∴∠ACD+∠ACF=45°，

即∠DCF=45°，

∴∠DCF=∠DCE，

又∵CD=CD，

∴△CDF≌△CDE（SAS），

∴DF=DE，

∵，

∴；