Question

【題目】如圖（1），已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為(2，4)；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．

（1）求直線y=3與拋物線交點的坐標；

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖⑴所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖（2）所示）．

①當時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；

②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線與拋物線交點的坐標為和；（2）①點不在直線上，理由詳見解析；②存在最大值，最大值為．

【解析】

（1）設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+4，將（0，0）代入求出a，再把代入即可解決問題；

（2）①由（1）中拋物線的解析式可以求出E點的坐標，從而可以求出ME的解析式，再將P點的坐標代入直線的解析式就可以判斷P點是否在直線ME上．

②設出點N（t，﹣（t﹣2）2+4），可以表示出PN的值，根據梯形的面積公式可以表示出S與t的函數關系式，從而可以求出結論．

（1）因所求拋物線的頂點的坐標為，故可設其關系式為

又拋物線經過，于是得，

解得

所求函數關系式為，

即

把代入得

解得：，

直線與拋物線交點的坐標為和

（2）①點不在直線上．

根據拋物線的對稱性可知點的坐標為，

又的坐標為，

設直線的關系式為

于是得，

解得

所以直線的關系式為．

由已知條件易得，當時，，

點的坐標不滿足直線的關系式．

當時，點不在直線上．

②存在最大值．

理由如下：

點在軸的非負半軸上，且在拋物線上，

．

點的坐標分別為、

，

，

（i）當，即或時，

以點為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為，

．

（ii）當時，以點為頂點的多邊形是四邊形．

，，

其中，由，，此時最大．

綜上所述，當時，以點為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為．

說明：（ii）中的關系式，當和時也適合