Question

（本小題滿分15分）如圖1，拋物線經過點A和點B.已知點A的坐標是（2，4），點B的橫坐標是－2.

（1）求的值及點B的坐標； 

（2）設點D為線段AB上的一個動點，過D作x軸的垂線,垂足為點H.在DH的右側作等邊△DHG. 將過拋物線頂點Ｍ的直線記為，設與x軸交于點N.

① 如圖1，當動點D的坐標為(1，2)時，若直線過△DHG的頂點G.求此時點N的橫坐標是多少？

② 若直線與△DHG的邊DG相交，試求點N橫坐標的取值范圍.

 

 

Answer 1

（1）∵ 點A（2，4）在拋物線上，

∴代入得 =1                                ……………………………1分

于是拋物線的解析式為

又∵點B的橫坐標為－2，代入得  ∴  B(－2,－4)     ………………2分

（2）①由題意 M(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x軸，

∴ 點M在DH上，MH=5.

過點G作GE⊥DH，垂足為E.

∵△DHG是正三角形，可得EG=, EH=1，

∴ ME＝4.                   

設N ( x，0 )，則 NH＝x－1,

由△MEG∽△MHN，得.                      ………………5分

∴, 解得

∴點N的橫坐標為．                       ……………………6分

②如右圖，當點D運動至與點A重合時，直線與DG交于點G，此時點N的橫坐標最大．

過點G，M作x軸的垂線，垂足分別為點Q，F.設N（x，0）

∵  A (2, 4)， ∴ G (, 2)

∴  NQ=，NF =，GQ=2，MF =5.

由題意，

△NGQ∽△NMF，

∴.                                     ……………………9分

∴.

∴.                                   ……………………10分

如右圖，當點D運動至與點B重合時，直線與DG交于點D（即點B）此時點N的橫坐標最小. ∵B(－2, －4) ，∴  H(－2, 0)，D(－2, －4).設N（x，0）.由題意△BHN∽△MFN，

∴.                       ……………………13分

∴    ∴        ……………………14分

綜上，點N的橫坐標取值范圍是≤x≤ ……15分

 

 

解析:略