Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，直線y1＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線y2＝﹣2x+b經過點A，已知點C（﹣1，0），直線BC與直線y2相交于點D．

（1）請直接寫出：A點坐標為 ，直線BC解析式為 ，D點坐標為 ；

（2）若線段OA在x軸上移動，且點O，A移動后的對應點為O1、A1，首尾順次連接點O1、A1、D、B構成四邊形O1A1DB，當四邊形O1A1DB的周長最小時，y軸上是否存在點M，使|A1M﹣DM|有最大值，若存在，請求出此時M的坐標；若不存在請說明理由．

（3）如圖3，過點D作DE∥y軸，與直線AB交于點E，若Q為線段AD上一動點，將△DEQ沿邊EQ翻折得到直線AB上方的△D′EQ，是否存在點Q使得△D′EQ與△AEQ的重疊部分圖形為直角三角形，若存在，請求出DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），y＝3x+3，（1，6）；（2）M（0，9）；（3）或．

【解析】

（1）利用坐標軸上點的特點求出點A，B坐標，進而利用待定系數法求出直線AD的解析式，聯立兩直線解析式求解即可得出點D坐標；
（2）利用對稱性和平行四邊形的性質找出四邊形O1A1DB的周長最小時點A1的位置，再利用待定系數法求出直線DG的解析式，即可得出結論；
（3）分兩種情況，先求出DE，再利用銳角三角函數求出EF，進而利用勾股定理求出DF，再利用角平分線的性質，求出DN，最后利用相似三角形的性質得出比例式，建立方程求解即可．

解：（1）對于直線y1＝﹣x+3，令x＝0，則y＝3，

∴B（0，3），令y＝0，則0＝﹣x+3，

∴x＝4，

∴A（4，0），

∵直線y2＝﹣2x+b經過點A，

∴﹣2×4+b＝0，

∴b＝8，

∴直線y2＝﹣2x+8①，

設直線BC的解析式為 mx+n，

∵C（﹣1，0），

∴ ，

∴ ，

∴直線BC的解析式為y＝3x+3②，

聯立①②解得， ，

∴D（1，6），

故答案為：（4，0），y＝3x+3，（1，6）；

（2）如圖1，

作點B關于x軸的對稱點B'（0，﹣3），以OA與OB'為邊作OB'GA，

∴B'G＝OA，

∵∠AOB'＝90°，

∴OB'GA是矩形，

∴G（4，﹣3），

連接DG，向左平移OA使點A落在DG與x軸的交點上，記作A1，連接O1B'，

此時四邊形O1A1DB的周長最小，

設直線DG的解析式為y＝kx+a，

∵D（1，6），

∴ ，

∴ ，

span>∴直線DG的解析式為y＝﹣3x+9，

要|A1M﹣DM|有最大值，則點M是DG與y軸的交點，如圖2，

∴M（0，9）；

（3）∵DE∥y軸，D（1，6），

∴E（1， ），

∴DE＝ ，

由折疊知，ED'＝DE＝，∠DEQ＝∠FEQ，

如圖5，設直線AD交y軸于H，

∵點A（4，0），D（1，6），

∴直線AD的解析式為y＝﹣2x+8，

∴H（0，8），

在Rt△AOH中，tan∠AHO＝ ,＝ ，

∵DE∥y軸，

∴∠ADE＝∠AHO，

∴tan∠ADE＝，

設EE'與AD的交點為F，

①當∠DFE＝90°時，如圖3，

在Rt△DFE中，tan∠ADE＝＝，

∴DF＝2EF，根據勾股定理得，EF2+（2EF）2＝（）2，

∴EF＝，DF＝，

過點D作DN∥EE'交EQ的延長線于N，

∴∠FEQ＝∠N，

∴∠DEQ＝∠N，

∴DN＝DE＝，

∵DN∥EF，

∴△QFE∽△QDN，

∴ ，

∴ ，

∴DQ＝ ，

②當∠DEF＝90°時，如圖4，過點D作DN∥EF交EQ的延長線于N，

在Rt△DEF中，tan∠ADE＝ ＝ ，

∴EF＝ DE＝ ，根據勾股定理得，DF＝ ，

同①的方法得，DN＝DE＝ ，

∵DN∥EF，

∴△QFE∽△QDN，

∴ ，

∴ ，

∴QD＝ ．

即：DQ的長為 或．

故答案為：（1）（4，0），y＝3x+3，（1，6）；（2）M（0，9）；（3）或．