Question

如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M．下列結論：
①BD是∠ABC的平分線；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
正確的有（　　）個．

A、4        B、3        C、2        D、1

Answer 1

：解：∵AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分線；故①正確；
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴△BCD是等腰三角形，故②正確；
∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，
∴△ABC∽△BCD，故③正確；
∵△AMD中，∠AMD=90°，△BCD中沒有直角，
∴△AMD與△BCD不全等，故④錯誤．
故選B．

：首先由AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度數，又由AB=AC，即可求得∠ABC與∠C的度數，則可求得所有角的度數，可得△BCD也是等腰三角形，則可證得△ABC∽△BCD．