Question

拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1．且A、C兩點的坐標分別為A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在對稱軸上是否存在一個點P，使△PAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據對稱軸和A點的坐標求得B點的坐標，用待定系數法求函數的解析式即可；
（2）利用點A和點B關于對稱軸對稱，求得線段BC所在直線的解析式后再求出此直線與對稱軸的交點坐標即可．

解答：解：（1）∵A、B兩點關于x=1對稱，且A（-1，0），
∴B點坐標為（3，0），
根據題意得：

0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c

解得a=1，b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）存在一個點P，使△PAC的周長最小．
A點關于x=1對稱點B的坐標為（3，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b
∴

3k+b=0 b=-3

∴k=1，b=-3，
即BC的解析式為y=x-3．
當x=1時，y=-2，
∴P點坐標為（1，-2）．

點評：本題考查了函數綜合知識，函數綜合題是初中數學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數綜合題的形式出現．解決函數綜合題的過程就是轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、方程思想的應用過程．