Question

【題目】閱讀理解：如圖1，在的邊上取一點，連接，可以把分成兩個三角形，如果這兩個三角形都是等腰三角形，我們就稱點是的邊上的和諧點．

（1）如圖2，在中，，試找出邊上的和諧點；

（2）如圖3，已知，的頂點在射線上，點是邊上的和諧點，請在圖3中畫出所有符合條件的點，并寫出相應的的度數．

Answer 1

【答案】（1）AB邊上的和諧點為AB的中點；（2）∠B的度數為35°、50°、80°、20°．

【解析】

（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，找出和諧點為斜邊的中點；

（2）由∠A為等腰三角形的頂角和底角分類討論得出符合條件的點B，繼而可寫出∠B的度數.

（1）AB邊上的和諧點為AB的中點，理由如下：

∵P是AB的中點，

∴PC=AB=PA=PB，

∴△ACP和△BCP是等腰三角形；

（2）①當∠A=∠ACP=40°時，則CPB=40°+40°=80°，如圖：

若CP=CB1，則∠CPB1=∠CB1P=80°，

若B2P=B2C，則∠B2PC=B2CP=80°，所以∠B2=180°﹣80°﹣80°=20°，

若PC=B3P，則∠PCB3=PB3C==50°；

②當∠A=∠APC=40°時，如圖：

∵∠CPB4=180°﹣∠APC=180°﹣40°=140°，

∴∠B4==20°；

③當∠ACP=∠APC=70°時，如圖：

∵∠CPB5=180°﹣∠APC=180°﹣70°=110°，

∴∠B==35°，

綜上所述，符合條件的∠B的度數為35°、50°、80°、20°．