Question

我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，點D的坐標為（0，-3）AB為半圓直徑，半圓圓心M（1，0），半徑為2，則“蛋圓”的拋物線部分的解析式為

 

．經過點C的“蛋圓”的切線的解析式為

 

．

Answer 1

分析：首先根據題意確定出A、B、D點的坐標．假設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．從圖中可看到拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、D，聯立組成方程組

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，解得a、b、c的值，拋物線解析式即可確定．
首先根據M、半徑確定出“蛋圓”半圓部分的解析式．再求得C點的坐標，根據C、M點坐標確定出直線CM的斜率，進而根據兩直線垂直，斜率之積是-1．求得經過點C的“蛋圓”的切線的斜率，進而確定出切線的解析式．

解答：解：由題意得A（-1，0）、B（3，0）、D（0，-3）
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、D
∴可列出方程組

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得c=-3、a=1、b=-2，
該拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

∵半圓的圓心M（1，0），半徑為2，
∴圓的解析式為半圓的解析式為（x-1）²+y²=4 （y≥0），
設點C的坐標為（0，k），
∵點C在半圓上，
∴1+k²=4，解得k=

3

即C點的坐標為（0，

3

），
則直線CM的解析式斜率為-

3

，
因而過點C圓M切線的解析式斜率為

-1

- 3

=

3

3

故經過點C的“蛋圓”的切線的解析式為y-

3

=

3

3

(x-0)，
即y=

3

3

x+

3

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有利用待定系數法求拋物線的解析式、直線解析式的確定、圓的切線問題．