Question

已知拋物線y=x²+bx+c的圖象過A（0，1）、B（-1，0）兩點，直線l：x=-2與拋物線相交于點C，拋物線上一點M從B點出發，沿拋物線向左側運動．直線MA分別交對稱軸和直線l于D、P兩點．設直線PA為y=kx+m．用S表示以P、B、C、D為頂點的多邊形的面積．
（1）求拋物線的解析式，并用k表示P、D兩點的坐標；
（2）當0＜k≤1時，求S與k之間的關系式；
（3）當k＜0時，求S與k之間的關系式．是否存在k的值，使得以P、B、C、D為頂點的多邊形為平行四邊形？若存在，求此時k的值；若不存在，請說明理由；
（4）若規定k=0時，y=m是一條過點（0，m）且平行于x軸的直線．當k≤1時，請在下面給出的直角坐標系中畫出S與k之間的函數圖象．求S的最小值，并說明此時對應的以P、B、C、D為頂點的多邊形的形狀．

Answer 1

分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式和對稱軸方程；由于直線PA將該點A，可將其坐標代入直線PA的解析式中，即可得到m的值，易求得D、P的橫坐標，將它們代入直線PA的解析式中，即可求得P、D的坐標．
（2）易求得點C（-2，1），根據（1）所得P點坐標可知，當0＜k≤1時，點P位于C點下方，根據C、P的縱坐標即可得到CP的長，而BD的長等于點D的縱坐標，即可由梯形的面積公式求得四邊形PBDC的面積，由此可得關于S、k的函數關系式．
（3）當k＜0時，P點位于C點上方，求S、k的函數關系式同（2）完全相同，不同的只是CP的表達式．若以P、B、C、D為頂點的多邊形為平行四邊形，已知了PC∥BD，只需滿足PC=BD即可，可根據這個等量關系列出關于k的方程，求出此時k的值．
（4）當k=0時，P、C重合，此時PD=DB=1，即S為定值

1

2

，聯立（2）（3）所得結論，即可得到k≤1時S、k的函數關系式．結合函數關系式即可畫出S、k的函數圖象，根據函數圖象即可判斷出S的最小值以及對應的k的值，進而可確定出此時多邊形的形狀．

解答：解：（1）由題意得

c=1 1-b+c=0

，
解之得c=1，b=2，
所以二次函數的解析式為：y=x²+2x+1；
由于直線y=kx+m經過點A（0，1），
∴m=1，∴y=kx+1；
當x=-2時，y=-2k+1，
當x=-1時，y=-k+1，
∴P（-2，-2k+1），D（-1，-k+1）．

（2）在y=x²+2x+1中，當x=-2時，y=4-4+1=1，
∴點C坐標為（-2，1），
當0＜k≤1時，CP=1-（-2k+1）=2k，BD=-k+1，
∴S=

2k-k+1

2

=

1

2

k+

1

2

．

（3）當k＜0時，CP=-2k+1-1=-2k，BD=-k+1，
∴S=

-2k-k+1

2

=-

3

2

k+

1

2

；
存在k的值，使四邊形PDBC是平行四邊形，
當PC=DB時，即-2k=-k+1，
∴k=-1；
∴當k=-1時，四邊形PDBC是平行四邊形．

（4）當k≤1時，S、k的函數關系式為：
S=

1 2 k+ 1 2 (0＜k≤1) 1 2 (k=0) - 3 2 k+ 1 2 (k＜0)

由題意得S=

1 2 k+ 1 2 (0＜k≤1) - 3 2 k+ 1 2 (k≤0)

；
圖象如圖所示：
由圖象可知，S的最小值為S=

1

2

，
此時對應的多邊形是一個等腰直角三角形．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、圖形面積的求法、分段函數的應用以及分類討論的數學思想，綜合性強，難度較大．