Question

直角梯形ABCD在直角坐標系中的位置如圖所示，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=16，DC=12，AD=21動點P從點D出發，沿線段DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點B出發，在線段BC上以每秒1個單位長的速度向點C運動，點P、Q分別從點D、B同時出發，當點P運動到與點A重合時，點Q隨之停止運動．設運動時間為t（秒）．
（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（2）當t為何值時，四邊形ABQP是平行四邊形？
（3）四邊形ABQP能否為菱形？若能，求出t的值，若不能，說明理由．
（4）當t為何值時，以B，P，Q，三點為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）點P作PN⊥BC，垂足為N，則四邊形PDCN為矩形，根據BQ=t，就得到S與t之間的函數關系式．
（2）當四邊形ABQP為平行四邊形時，PA=BQ，即t=21-2t，可將t求出；
（3）利用菱形性質得出當四邊形ABQP為菱形，則AB=BQ=PA=PQ，得出邊長之間關系即可得出答案；
（4）以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．在Rt△PMQ中根據勾股定理，就得到一個關于t的方程，就可以求出t．

解答：解：（1）如圖1，過點P作PN⊥BC，于點N，
S=

1

2

×PN×BQ=

1

2

×12×t=6t，（0＜t≤10.5）；

（2）當四邊形ABQP是平行四邊形時，PA=BQ，
∴21-2t=t解得：t=7，
∴當t=7時，四邊形ABQP是平行四邊形．

（3）如圖3，作BW⊥AD，于點W，AR⊥BC于點R，
當四邊形ABQP為菱形，則AB=BQ=PA=PQ，
∵AB=

AR2+BR2

=

122+52

=13，
∴當AP=13，2t=21-13，t=4秒，此時BQ=4，
∴BQ≠AB，
∴四邊形ABQP不能為菱形；

（4）①如圖2，當BP=BQ時，由題意得：B（16，0），P（2t，12），Q（16-t，0），
∴BP=

BW2+PW2

=

(2t-16)2+144

，BQ=t，
PQ=

PN2+QN2

=

(3t-16)2+144

，
∴

(2t-16)2+144

=t，此時方程無實數根；
②圖3，當BP=PQ時，PW=16-2t，PB=

(16-2t) 2+144

，
∴

(16-2t) 2+144

=

(3t-16)2+144

，
解得：t₁=

32

5

，t₂=0，
但當t=0時，B，Q兩點重合，故t=

32

5

；
③當BQ=PQ時，

(3t-16)2+144

=t，此時方程無實數根；
綜上所述，當t=

32

5

秒時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形；

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及直角梯形的問題，通過作高線可以轉化為直角三角形與矩形的問題．并且要理解以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，應分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三種情況進行討論是解題關鍵．