Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內．
（1）求點E的坐標；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連接PN．設PE=x．△PMN的面積為S．
①求S關于x的函數關系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由．若存在，求出面積的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）．設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據AO的長和E為AO的中點求的OE的長，然后根據∠AOC=60°求的點E的坐標即可．
（2）分當0≤x≤1時、當1＜x≤4時求的S的最大值即可；
（3）分當0≤t≤2時、當2＜x≤4時、當4＜x≤5時三種情況利用梯形的面積公式求的面積與時間的函數關系式即可．

解答：解：（1）如圖1，ED⊥OD與D點，
∵AO=4，E為AO的中點，
∴AE=2，
∵∠AOC=60°
∴ED=1，OD=

3

∴E（1，

3

）；
                          
（2）①當0≤x≤1時，在梯形ABCD中，由AB∥OC，MN∥OA，得MN=AB=4，
過點P作PH⊥MN，垂足為H，
由MN∥AO得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°
由E、F是AB、DC邊的中點得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM，
∴PM=EG=

3

在Rt△PMH中，sin∠PMH=

PH

PM

，所以PH=PM•sin30°=

3

2

∴S△PMN=

1

2

PH•MN=

1

2

×4×

3

2

=

3

，
當1＜x≤4時，S=-

1

4

3

X+

5

4

3

，
②若0≤x≤1時，S=

3

，
若1＜x≤4時，S=-

1

4

3

X+

5

4

3

∵-

1

4

3

＜0，
∴S隨X的增大而減小，
∴S不存在最大值，
∴綜上所述，當0≤x≤1時，S存在最大值，最大值為

3

；

（3）當0≤t≤2時，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內部，這時重疊部分的面積即為直角梯形面積，
y=

1

2

×（2+3）×

3

=

5

2

3

（如圖1），
當2＜x≤4時，y=

1

2

（E′H′+D′G′）•D′E′=

1

2

×（4-t+5-t）×

3

=-

3

t+

9

2

3

，
當4＜x≤5時，DC=5-t，DE=

3

（5-t）
∴y=

1

2

DC•DE=（5-t）×

1

2

×

3

（5-t）=

1

2

3

（5-t）²．

點評：本題考查了一次函數的綜合知識、直角梯形、等腰梯形的性質及梯形的中位線定理的知識，考查的知識點比較多，但難度不算很大，此類題目通常出現在中考題的倒數第二個題目中．