Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線l1：y=﹣x+4分別與x軸、y軸交于點A、點B，且與直線l2：y=x于點C．

（1）如圖①，求出B、C兩點的坐標；

（2）若D是線段OC上的點，且△BOD的面積為4，求直線BD的函數解析式．

（3）如圖②，在（2）的條件下，設P是射線BD上的點，在平面內是否存在點Q，使以O、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（，）．（2）y=-x+4．（3）Q的坐標為（2，-2）或（-2，2）或（4，4）．

【解析】

（1）利用待定系數法求出點B坐標，利用方程組求出點C坐標即可；

（2）設D（m，m），構建方程求出m即可解決問題，再利用待定系數法求出直線的解析式；

（3）分三種情形分別求解即可解決問題；

（1）對于直線：y=- x+4，令x=0，得到y=4，

∴B（0，4），

由，解得，

∴C（，）．

（2）∵點D在直線y=x上，設D（m，m），

∵△BOD的面積為4，

∴解得m=2，

∴D（2，2）．

設直線BD的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得，

∴直線BD的解析式為y=-x+4．

（3）如圖②中，

①當OB為菱形的邊時，OB=PB=4，可得P（2，4-2），Q（2，-2）．

②當P′B為菱形的對角線時，四邊形OBQ′P′是正方形，此時Q（4，4）．

③當OB為菱形的邊時，點P″與D重合，P、Q關于y軸對稱，Q″（-2，2），

綜上所述，滿足條件的Q的坐標為（2，-2）或（-2，2）或（4，4）．