Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（21，0），C（0，6），動點D在線段AO上從點A以每秒2個單位向點O運動，動點P在線段BC上從點C以每秒1個單位向點B運動．若點D點P同時運動，當其中一個動點到達線段另一個端點時，另一個動點也隨之停止.

（1）求點B的坐標（1分）；
（2）設點P運動了t秒，用含t的代數式表示△ODP的面積S（3分）；
（3）當P點運動某一點時，是否存在使△ODP為直角三角形，若存在，求出點P的坐標，若不存在說明理由（8分）.

Answer 1

（1）（21，6）；（2）（）；（3）（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.

試題分析：（1）由A（21，0），C（0，6），根據矩形的性質即可得點B的坐標；（2）由AD=2t得OD=，從而由三角形面積公式即可得，根據點D點P同時運動，當其中一個動點到達線段另一個端點時，另一個動點也隨之停止，可得t的取值范圍；（3）分∠POD=90°，∠PDO=90°，∠OPD=90°三種情況討論即可.
試題解析：（1）∵四邊形OABC是矩形，A（21，0），C（0，6），∴B的坐標為（21，6）.
（2）∵根據題意，得AD=2t，OD=，
∴.
∵點D點P同時運動，當其中一個動點到達線段另一個端點時，另一個動點也隨之停止，
∴由，得.
∴t的取值范圍為.
∴（）.
（3）存在. 如圖，過點P作PE⊥OA于點E，
∵OC=PE=6，CP=OE=t，AD=2t，OD=，ED=，
∴根據勾股定理，得.
若△ODP為直角三角形，分三種情況：
①∠POD=90°，則點P與點C重合，點D與點A重合，此時，P（0，6）.
②∠PDO=90°，則點D與點E重合，有OE=OD，即t=，解得t=7，此時，P（7，6）.
③∠OPD=90°，則，即，即，
解得t=3或t=4，此時，P（3，6）或（4，6）.
綜上所述，若△ODP為直角三角形，則P（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.