Question

【題目】如圖，在邊長為2的正三角形中，將其內切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓）的內部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，連接OB、OD； 設小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點為G；過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，
則∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°，所以△BEF是等邊三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
則OD=BDtan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB﹣OG= ；
由于⊙P是等邊△BEF的內切圓，所以點P是△BEF的內心，也是重心，
故PG= BG= ；
∴S⊙o=π×（ ）2= π，S⊙P=π×（ ）2= π；
∴S陰影=S△ABC﹣S⊙O﹣3S⊙P= ﹣ π﹣ π= ﹣ π．
所以答案是： ﹣ π．

【考點精析】本題主要考查了三角形的內切圓與內心的相關知識點，需要掌握三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心才能正確解答此題．