Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，過點C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分線于點D，連接AD，過點C作∠BCE=∠BAD，交AB的延長線于點E．若CD=3，則CE=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

證明△ABD≌△CBE，根據全等三角形的性質可得CE=AD，過D作DF⊥AE于F，再證明△CBD≌△FBD，即可得CB=BF，DF=CD=3，在Rt△BCD中，利用勾股定理求得BC=，BD=2，再在Rt△ADF中，利用勾股定理求得AD的長，即可求得CE的長.

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC，

∴∠5=60°．

又∵∠5+∠CBE=180°，

∴∠CBE=120°．

又∵BD平分∠CBE，

∴∠3=∠4=∠CBE．

∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°．

即∴∠ABD=∠CBE．

在△ABD和△CBE中，，

∴△ABD≌△CBE（ASA）．

∴CE=AD，

過D作DF⊥AE于F，

∴∠DFB=∠DCB=90°，

又∵∠CBD=∠FBD，BD=BD，

∴△CBD≌△FBD（AAS）．

∴CB=BF，DF=CD=3，

∵∠3=60°，∠BCD=90°，

∴∠CDB=30°，

∴設BC=x，則BD=2x，

則32+x2=（2x）2，

解得：x=，

∴BC=，BD=2，

∴BF=BC=．

∵AB=BC，

∴AF=AB+BF=2．

直角三角形ADF中，AF=2，DF=3．

∴根據勾股定理可得出AD=，

∴CE=AD=．

故答案為：．