Question

已知：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，

（1）如圖，E，F分別是AB，AC上的點，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

Answer 1

（1）連接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可證得△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即可證得結論；（2）仍為等腰直角三角形

試題分析：（1）連接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可證得△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即可證得結論；
（2）先由∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°，可得∠DAF=∠DBE，再結合兩組對邊對應相等，即可證得△BED≌△AFD從而證得結論．
① 連結AD，

∵，∠BAC＝90°，為BC的中點
∴AD⊥BC，BD＝AD
∴∠B＝∠DAC＝45°
又∵BE＝AF
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°
∴△DEF為等腰直角三角形；
②若E，F分別是AB，CA延長線上的點，如圖所示，連結AD 

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點
∴AD＝BD，AD⊥BC
∴∠DAC＝∠ABD＝45°
∴∠DAF＝∠DBE＝135°
又AF＝BE
∴△DAF≌△DBE（SAS）
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB
∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°
∴△DEF仍為等腰直角三角形.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形底邊上的中線平分頂角，并且等于底邊的一半．