Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，點P是AB邊上的任意一點（點P不與點A、點B重合），過點P作PD⊥AB，交直線BC于點D，作PE⊥AC，垂足為點F．

（1）求∠APE的度數；
（2）連接DE，當△PDE為等邊三角形時，求BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵PE⊥AC，

∴∠AEP=90°，

∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°

（2）解：設BP=x，則AP=6﹣x，

在Rt△BPD中，PD=BPtan60°= x，在Rt△APE中，PE=APsin60°= ，

∵△PDE為等邊三角形，

∴PD=PE，

即 = （6﹣x），

解得：x=2，

∴當△PDE為等邊三角形時，BP的長為2

【解析】（1）利用等邊三角形的性質可得∠A=∠B=∠C=60°，在利用垂直的定義和三角形內角和定理可得結果；（2）設BP=x，根據等邊三角形的性質，利用三角函數，易得PD= x，在Rt△APE中，PE=APsin60°= ，利用等邊三角形的性質可得PE=PD，建立等量關系，解得x．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．