Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+6（a≠0）的圖象交y軸于C點(diǎn)，交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x²-4x-12=0的兩個(gè)根．
（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)及該二次函數(shù)表達(dá)式．
（2）如圖2，連接AC、BC，點(diǎn)Q是線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)O、B重合），過(guò)點(diǎn)Q作QD∥AC交于BC點(diǎn)D，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），當(dāng)△CDQ面積S最大時(shí)，求m的值．
（3）如圖3，線段MN是直線y=x上的動(dòng)線段（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），且MN=

2

，若M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q．以點(diǎn)P，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請(qǐng)求出n的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程x²-4x-12=0可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax²+bx+6，可求二次函數(shù)解析式；
（2）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據(jù)S_△CDQ=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大時(shí)，m的值；
（3）以點(diǎn)P，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形，因?yàn)镸，N的位置不確定，所以要分三種情況討論，求出滿足題意的n值即可．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²-4x-12=0的兩個(gè)根，分別是x=-6或2，點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是方程的兩個(gè)根，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-2，0）、B（6，0），將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax²+bx+6，得

4a-2b+6=0 36a+6b+6=0

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
故y=-

1

2

x²+2x+6；

（2）依題意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，則S_△ABC=

1

2

AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，

S△BDQ

S△BCA

=（

BQ

BA

）²=（

6-m

8

）²，
即S_△BDQ=

3

8

（m-6）²，
又∵S_△ACQ=

1

2

AQ×OC=3m+6，
∴S=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ=24-

3

8

（m-6）²-（3m+6）=-

3

8

m²+

3

2

m+

9

2

=-

3

8

（m-2）²+6，
∴當(dāng)m=2時(shí)，S最大；

（3）∵M(jìn)N=

2

，點(diǎn)A，B都在直線y=x上，MN在直線AB上，MN在線段 AB上，M的橫坐標(biāo)為n，縱坐標(biāo)也為n，
如圖3，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線，它們相交于點(diǎn)H．
∴△MHN是等腰直角三角形．
∴MH=NH=1．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n+1，n+1），
①如圖4，當(dāng)n＞0時(shí)，PM=n，
NQ=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
當(dāng)四邊形PMQN為平行四邊形時(shí)，PM=NQ．
則n=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1+

14

或

14

-1；
②如圖5，當(dāng)n＜0時(shí)，PM=-m，
NQ=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
當(dāng)四邊形PMQN為平行四邊形時(shí)，PM=NQ．
則-n=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1-

14

或-1-

14

，
③∵直線AB過(guò)O，即直線經(jīng)過(guò)第一、三象限，
∴點(diǎn)M在第3象限點(diǎn)N在第2象限不存在；
綜上所述以點(diǎn)P，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形，n的值是n=1±

14

，或n=-1±

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用、用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式和平行四邊形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定既數(shù)學(xué)分類討論思想的運(yùn)用，題目的綜合性強(qiáng)，難度大，能夠很好的鍛煉學(xué)生的解題能力．