Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為P．

（1）如圖1，連接AP，分別求出拋物線與直線AP的解析式；

（2）如圖1，點D（2，3）在拋物線上，在第一象限內，直線AP上是否存在點E，使DE⊥EO？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC與拋物線的對稱軸交于點F，在對稱軸右側的拋物線上是否存在點G，使△GPF與△GBF的面積相等？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，直線AP的解析式為y=2x+2；（2）E（，+2）或（﹣，﹣+2）；（3）點Q的坐標為（2，3），（，﹣）．

【解析】(1)把A(-1,0)、兩點代入y=-x+bx+c即可求出拋物線的解析式,求出點P的坐標,將點A、P兩點坐標代入即可求出直線解析式;
(2)設過點P與BC平行的直線與拋物線的交點為Q,根據直線BC的解析式為y=-x+3,過點P與BC平行的直線為y=-x+5,得Q的坐標為(2,3),根據PM的解析式為:,直線BC的解析式為y=-x+3,得M的坐標為(1,2),設PM與x軸交于點E,求出過點E與BC平行的直線為y=-x+1,根據,
得點Q的坐標為.

（1）由得，

則拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴P（1，4），

設直線AP的解析式為y=kx+b，點A、P兩點坐標代入得

解得：．

則直線AP的解析式為y=2x+2；

（2）如圖1，假設AP上有一點E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB，DN⊥EM，

則△EMO∽△DNE，

∴，

設E（x，y），D（2，3），

則OM=x，EM=y，EN=y﹣3，DN=2﹣x，

∴

又∵y=2x+2，

解得：x=，

∴y=+2，

∴E（，+2）或（﹣，﹣+2）；

（3）設過點P與BC平行的直線與拋物線的交點為Q，

∵P點的坐標為（1，4），直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴過點P與BC平行的直線為y=﹣x+5

由

得Q的坐標為（2，3），

∵PF的解析式為x=1，直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴F的坐標為（1，2），

設PM與x軸交于點E，

∵PF=EF=2，

∴過點E與BC平行的直線為y=﹣x+1，

由

得或（不合題意，舍去），

∴點Q的坐標為（，﹣），

∴使得△QMB與△PMB的面積相等的點Q的坐標為（2，3），（，﹣）．