Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長．

Answer 1

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再結合AC＝CF可得CB＝AF，即可證得△ABF是直角三角形，從而可以證得結論；（2）10

試題分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再結合AC＝CF可得CB＝AF，即可證得△ABF是直角三角形，從而可以證得結論；
（2）連接DO，EO，由點D，點E分別是弧AB的三等分點，可得∠AOD＝60°，再結合OA＝OD可得△AOD是等邊三角形，從而可以求得結果.
（1）∵∠CBF＝∠CFB
∴CB＝CF．
又∵AC＝CF， 
∴CB＝AF．
∴△ABF是直角三角形．
∴∠ABF＝90°． 
∴直線BF是⊙O的切線．   
（2）連接DO，EO．                

∵點D，點E分別是弧AB的三等分點，
∴∠AOD＝60°．  
又∵OA＝OD， 
∴△AOD是等邊三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5．      
又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10， 
∴BF＝10．
點評：解題的關鍵是熟練掌握切線垂直于經過切點的半徑；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.