Question

（2008•上海模擬）已知：一次函數y=x+4的圖象與二次函數y=x²+bx+c的圖象都經過點Q（-1，m）和點A（n，0），二次函數圖象的頂點為M．
求：（1）這個二次函數的解析式．
（2）∠OQM的度數．

Answer 1

分析：（1）先把（-1，m）、（n，0）代入一次函數y=x+4中，易求m、n的值，再把Q、A點的坐標代入二次函數，可得關于b、c的二元一次方程組，解即可求b、c，進而可得二次函數解析式；
（2）根據（1）中所求二次函數解析式，結合頂點的計算公式，易求M的坐標，利用兩點之間的距離公式，易求OQ、OM、QM的長，進而可知OQ²+OM²=QM²，OQ=OM，易知△OMQ是等腰直角三角形，那么∠OQM=45°．

解答：解：（1）把（-1，m）、（n，0）代入一次函數y=x+4中，得
m=3，n=-4，
再把（-1，3）（-4，0）代入二次函數y=x²+bx+c中，得

1-b+c=3 16-4b+c=0

，
解得

b=6 c=8

，
∴二次函數的解析式是y=x²+6x+8；

（2）∵y=x²+6x+8，如右圖，
∴此函數頂點坐標是（-3，-1），
∵Q（-1，3），O（0，0），M（-3，-1），
∴OQ=

10

，OM=

10

，QM=2

10

，
∴OQ²+OM²=QM²，OQ=OM，
∴△OMQ是等腰直角三角形，
∴∠OQM=45°．

點評：本題考查了待定系數法求函數解析式、兩點之間的距離公式，解題的關鍵是理解點與函數解析式之間的關系，以及熟練掌握二次函數頂點的計算公式、并會畫出草圖．