Question

25、如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）線段OE與OF是否相等？如果相等，請加以證明；如不相等，說明理由；
（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形AECF有沒有可能是矩形嗎？若有可能，請你指出O點的位置，并加以證明；若不可能，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）在角平分線中，分兩角相等，又MN∥BC，通過內錯角，可得出OE，OF分別與OC的關系．
（2）考查矩形的判定定理，根據對角線平行且相等的平行四邊形為矩形，進行判定．

解答：解：（1）OE=OF（1分）（學生最后結論也給分）
理由是：∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCE（3分）
∵∠ACE=∠BCE∴∠OEC=∠ACE（5分）
∴OE=OC（6分）
同理OF=OC（7分）
∴OE=OF；（8分）

（2）當O在AC的中點是，四邊形AECF是矩形（9分）
理由是：∵OA=OC，OE=OF（10分）
∴四邊形AECF是平行四邊形（11分）
∵OA+OC=OE+OF
即AC=EF（12分）
∴四邊形AECF是矩形．（13分）
（用有一角是直角的平行四邊形是矩形亦可）

點評：掌握角平分線的性質，熟練掌握矩形的性質及判定定理．