Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，2）

(1)求拋物線的表達式；

(2)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，點D與點C關于點M對稱，試問在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△ABD相似？若存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+x+2；(2)滿足條件的點P的坐標為（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線的表達式；

（2）使△BMP與△ABD相似的有三種情況，分別求出這三個點的坐標.

(1)∵拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），

∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），

∵拋物線與y軸交于點C（0，2），

∴a×1×（﹣4）=2，

∴a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

(2)如圖1，連接CD，∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2，

∴拋物線的對稱軸為直線x=，

∴M（，0），∵點D與點C關于點M對稱，且C（0，2），

∴D（3，﹣2），

∵MA=MB，MC=MD，

∴四邊形ACBD是平行四邊形，

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣22），

∴AB2=25，BD2=（4﹣1）2+22=5，AD2=（3+1）2+22=20，

∴AD2+BD2=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴∠ADB=90°，

設點P（，m），

∴MP=|m|，

∵M（，0），B（4，0），

∴BM=，

∵△BMP與△ABD相似，

∴①當△BMP∽ADB時，

∴，

∴，

∴m=±，

∴P（，）或（，﹣），

②當△BMP∽△BDA時，

，

∴，

∴m=±5，

∴P（，5）或（，﹣5），

即：滿足條件的點P的坐標為P（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．