Question

【題目】如圖①，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB= ，反比例函數y= （k＞0）在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F．

（1）若OA=10，求反比例函數解析式；
（2）若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=12，求OA的長和點C的坐標；
（3）在（2）中的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖②），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO．是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB= ，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A點坐標為（6，8），根據題意得：

8= ，可得：k=48，

∴反比例函數解析式：y= （x＞0）

（2）

解：設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，過點C作CN⊥x軸于點N，

由平行四邊形性質可證得OH=BN，

∵sin∠AOB= ，

∴AH= a，OH= a，

∴S△AOH= a a= a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四邊形AOBC=24，

∵F為BC的中點，

∴S△OBF=6，

∵BF= a，∠FBM=∠AOB，

∴FM= a，BM= a，

∴S△BMF= BMFM= a a= a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+ a2，

∵點A，F都在y= 的圖象上，

∴S△AOH=S△FOM= k，

∴ a2=6+ a2，

∴a= ，

∴OA= ，

∴AH= ，OH=2 ，

∵S平行四邊形AOBC=OBAH=24，

∴OB=AC=3 ，

∴ON=OB+OH=5 ，

∴C（5 ， ）

（3）

解：存在三種情況：

當∠APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，分別為：P1（ ， ），P2（﹣ ， ），

當∠PAO=90°時，P3（ ， ），

當∠POA=90°時，P4（﹣ ， ）

【解析】（1）先過點A作AH⊥OB，根據sin∠AOB= ，OA=10，求出AH和OH的值，從而得出A點坐標，再把它代入反比例函數中，求出k的值，即可求出反比例函數的解析式；（2）先設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，根據sin∠AOB= ，得出AH= a，OH= a，求出S△AOH的值，根據S△AOF=12，求出平行四邊形AOBC的面積，根據F為BC的中點，求出S△OBF=6，
根據BF= a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF= BMFM，S△FOM=6+ a2 ， 再根據點A，F都在y= 的圖象上，S△AOH= k，求出a，最后根據S平行四邊形AOBC=OBAH，得出OB=AC=3 ，即可求出點C的坐標；（3）分別根據當∠APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，得出P1 ， P2；當∠PAO=90°時，求出P3；當∠POA=90°時，求出P4即可．
【考點精析】關于本題考查的反比例函數的性質，需要了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能得出正確答案．