Question

【題目】如圖1，點(diǎn)D、E、F、G分別為線段AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）如圖2，若點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，BE：CF：DG＝2：3：，求證：∠MOF＝∠EFO．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)中位線定理得：DG∥BC，，則DG=BC，DE∥BC，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）先根據(jù)已知的比的關(guān)系設(shè)未知數(shù)：設(shè)BE=2x，CF=3x，，根據(jù)勾股定理的逆定理得：∠EOF=90°，最后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得OM=FM，由等邊對(duì)等角可得結(jié)論．

解：（1）∵D是AB的中點(diǎn)，G是AC的中點(diǎn)，

∴DG是△ABC的中位線，

∴DG∥BC，DG＝BC，

同理得：EF是△OBC的中位線，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，

∴設(shè)BE＝2x，CF＝3x，DG＝，

∴OE＝2x，OF＝3x，

∵四邊形DEFG是平行四邊形，

∴DG＝EF＝，

∴OE2+OF2＝EF2，

∴∠EOF＝90°，

∵點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，

∴OM＝MF，

∴∠MOF＝∠EFO．