Question

【題目】如圖1，是的直徑，為上不同于的兩點，連接且過點作垂足為直線與相交于點.

（1）求證:是的切線；

（2）若

①求直徑的長；

②如圖2所示，連接直接寫出的面積與四邊形的面積的比值 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②

【解析】

(1) 連接，根據圓周角定理得到，因此得到，再根據以及直線平行的性質即可證明；

(2) ①由得，假設，根據即可計算r的值，進而得到直徑AB的值；

②作于先根據垂徑定理算出BD=9，再設中邊的高長度為，設中邊的高長度為，根據即可算出答案；

解：（1）連接，

∵（圓周角定理），

∴

∴（內錯角相等，兩直線平行），

又由

∴

∴（兩直線平行，同旁內角互補），

故與相切.

(2)①如圖，

由（1）知（兩直線平行，同位角相等），

又(同弧圓周角相等)，

∴

∴，

設，

則，

于是

解得，

則.

②如圖1，作于

則

由垂徑定理得.

如圖2，設中邊的高長度為，設中邊的高長度為，

則

記，

則，，

得面積比為；