Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，二次函數y=x2+bx+c的圖像經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）求二次函數的表達式；

（2）當m≤x≤m1時，二次函數yx2bxc的最大值為2m，求m的值；

（3）如圖2，點D為直線AC上方二次函數圖像上一動點，連接BC、CD，設直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）．

【解析】

（1）根據題意得到，代入，于是得到結論；

（2）先求拋物線的對稱軸，然后分m+1≤，m＜＜m+1，m＞三種情況，利用二次函數的圖象及性質可以分別求出m的值．

（3）如圖，過作軸于，過作軸交于于，構造，利用相似三角形的性質得，由DM長得二次函數即可解答．

解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，

時，，時，，

，，

拋物線經過．兩點，

，

，

拋物線的函數表達式為；

（2）在中，對稱軸為x=，當m≤x≤m1時，二次函數yx2bxc的最大值為2m，有三種可能：
I．若m+1≤，即m≤時，當x=m+1時，函數有最大值-2m，
∴，
解得，，，（均不合題意，舍去）

II．若m＜＜m+1，即＜m＜時，當x=時，函數有最大值為，

即；解得：
III．若m＞，當x=m時，函數有最大值為-2m，
∴ ，
解得，，，

綜上所述，m的值為或或．

（3）令，

，

，，

，

如圖1，過作軸交于，過作軸交于，

，

，

，

設，，

，

，

；

當時，的最大值是；