Question

【題目】已知，如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點B、C，與y軸交于點A，且AO=CO，BC=4．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，點P是拋物線第一象限上一點，連接PB交y軸于點Q，設點P的橫坐標為t，線段OQ長為d，求d與t之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，過點Q作直線l⊥y軸，在l上取一點M（點M在第二象限），連接AM，使AM=PQ，連接CP并延長CP交y軸于點K，過點P作PN⊥l于點N，連接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ=45°時，求t值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）d=﹣t+3（0＜t＜3）（3）

【解析】試題分析：（1）先令x=0代入拋物線的解析式中求得與y軸交點A的坐標，根據OA=OC可得C的坐標，從而得B的坐標，利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）如圖2，設P（t，-t2+2t+3）（0<t<3），證明△BOQ∽△BGP，列比例式可得結論；

（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形和等腰直角三角形，先得QN=OG=AQ=t，則△AQN是等腰直角三角形，得AN=t，由PG∥OK，得,，求得AK=3t，證明△NGC是等腰直角三角形，及△AKN∽△NMC，則，代入可得t的值，并根據（2）中的點P只在第一象限進行取舍．

解：（1）如圖1，當x=0時，y=3，

∴A（0，3），

∴OA=OC=3，

∵BC=4，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），C（3，0），

把B（﹣1，0），C（3，0）代入拋物線y=ax2+bx+3中得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖2，設P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），

過P作PG⊥x軸于G，

∵OQ∥PG，

∴△BOQ∽△BGP，

∴，

∴，

∴d==﹣t+3（0＜t＜3）；

（3）如圖3，連接AN，延長PN交x軸于G，

由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3，

∴AQ=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t，

∴QN=OG=AQ=t，

∴△AQN是等腰直角三角形，

∴∠QAN=45°，AN=t，

∵PG∥OK，

∴，

∴，

OK=3t+3，

AK=3t，

∵∠QAN=∠NKQ+∠ANK，

∴∠NKQ+∠ANK=45°，

∵∠MCN+∠NKQ=45°，

∴∠ANK=∠MCN，

∵NG=CG=3﹣t，

∴△NGC是等腰直角三角形，

∴NC=（3﹣t），∠GNC=45°，

∴∠CNH=∠NCM+∠NMC=45°，

∴∠NKQ=∠NMC，

∴△AKN∽△NMC，

∴，

∵AQ=QN=t，AM=PQ，

∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL），

∴MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t，

∴，

t2﹣7t+9=0，

t1=＞3，t2=，

∵0＜t＜3，

∴t1＞3，不符合題意，舍去，

∴t=．