Question

【題目】已知，在中，，為上一動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊作，，交于點(diǎn)，且.

（1）如圖①，若平分，，求的長(zhǎng)

（2）如圖②，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，求證.

Answer 1

【答案】(1)12;(2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）由“SAS”可證△AEM≌△FCM，可得EM=MC，由等腰三角形性質(zhì)可求∠AEF=∠MCE=∠MEC=30°，由直角三角形的性質(zhì)可求ME=MC=8，即可求AC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交AD于點(diǎn)G，由“SAS”可證△ACG≌△EFC，可得AG=CE，CF=CG，由等腰三角形的性質(zhì)可得FG=2FN，即可得結(jié)論．

（1）∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∵∠BAC=∠EFC=90°，AM=MF，∠AME=∠FMC
∴△AEM≌△FCM（SAS）
∴EM=MC
∴∠MEC=∠MCE
∴∠MEC=∠MCE=∠AEF，
∵∠MEC+∠MCE+∠AEF=90°
∴∠AEF=∠MCE=∠MEC=30°，且∠BAC=90°
∴EM=2AM=8
∴MC=8
∴AC=AM+MC=12
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交AD于點(diǎn)G，

由（1）可知：EM=MC
∵AM=MF
∴AC=EF，
∵∠BAC=∠EFC=90°
∴點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓
∴∠CAG=∠FEC，且AC=EF，∠EFC=∠ACG=90°
∴△ACG≌△EFC（ASA）
∴AG=CE，CF=CG，
∵CF=CG，CN⊥AG
∴FG=2FN
∴EC=AG=AF+FG=AF+2FN