Question

如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，過點E作EF⊥AE交DC于點F，連接AF．設=k，下列結論：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）當k=1時，△ABE∽△ADF，其中結論正確的是（　　）

A．（1）（2）（3）

B．（1）（3）

C．（1）（2）

D．（2）（3）

Answer 1

C

試題分析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正確；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC的中點，
即BE=EC，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=，
∴tan∠BAE=tan∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正確；
（3）∵當k=1時，即=1，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴，
∴CF=CD，
∴DF=CD，
∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，
∴△ABE與△ADF不相似；
故（3）錯誤．
故選C．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、正方形的判定與性質以及三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．