Question

【題目】已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OD，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。

∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE。∴DO∥MN。

∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM =90°，即OD⊥DE。

∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線。

（2）連接CD，

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD=。

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠AED =90°。

∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE。 ∴，即。

解得：AC=15。

∴⊙O的半徑是7.5cm。

【解析】試題分析：（1）連接OD，根據平行線的判斷方法與性質可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切線．

（2）由直角三角形的特殊性質，可得AD的長，又有△ACD∽△ADE．根據相似三角形的性質列出比例式，代入數據即可求得圓的半徑．

試題解析：（1）證明：連接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAE，

∴∠ODA=∠DAE．

∴DO∥MN．

∵DE⊥MN，

∴∠ODE=∠DEM=90°．

即OD⊥DE．

∵D在⊙O上，OD為⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，

∴．

連接CD．

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE．

∴．

∴．

則AC=15（cm）．

∴⊙O的半徑是7.5cm．