Question

【題目】已知點O為直線AB上一點，將直角三角板MON的直角頂點放在點O處，并在∠MON內部作射線OC．

（1）將三角板放置到如圖所示位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度數；

（2）若仍將三角板按照如圖所示的方式放置，僅滿足OC平分∠MOB，試猜想∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）∠AOM＝2∠NOC，理由見解析.．

【解析】

（1）由∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB可得∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，然后利用角的倍分關系即可求解；

（2）令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC=90°-β，根據∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°即可得到∠AOM與∠NOC滿足的數量關系．

解：（1）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴4∠NOC＝90°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；

（2）∠AOM＝2∠NOC．

令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC＝90°﹣β，

∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，

∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，

∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，

∴∠AOM＝2∠NOC．