Question

22、如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，AB經過圓心O，且與小圓相交于A，與大圓相交于點B，小圓的切線AC與大圓相交于D，OC平分∠ACB．
（1）證明直線BC是小圓的切線；
（2）試證明：AC+AD=BC；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圓與小圓形成的圓環的面積．

Answer 1

分析：（1）作OE⊥BC于E，可證OE=OA，
（2）連接OD，由（1）知AC=CE，再證△AOD≌△EOB，得AD=BE，
（3）由（2）可得BE=4，S_圓環=S_大圓-S_小圓．

解答：證明：（1）作OE⊥BC于E；
∵CO=CO，∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠OEC，
∴△OAC≌△OEC，
∴OE=OA，∴BC是小圓的切線．

（2）連接OD，
在直角三角形AOD與直角三角形EOB中，
∵OD=OB，OA=OE，
∴Rt△AOD≌Rt△EOB，得AD=BE，
∴BC=AD+AC．

（3）由（2）可得BE=4，S_圓環=S_大圓-S_小圓
=π（OB²-OE²）
=π•BE²=16π（cm²）．

點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．