Question

如圖，直線AB交x軸正半軸于點A（a，0），交y軸正半軸于點B（0，b），且a、b滿足

a-4

+|4-b|=0，
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）D為OA的中點，連接BD，過點O作OE⊥BD于F，交AB于E，求證∠BDO=∠EDA；
（3）如圖，P為x軸上A點右側任意一點，以BP為邊作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直線MA交y軸于點Q，當點P在x軸上運動時，線段OQ的長是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求線段OQ的取值范圍．

Answer 1

分析：①首先根據已知條件和非負數的性質得到關于a、b的方程，解方程組即可求出a，b的值，也就能寫出A，B的坐標；
②作出∠AOB的平分線，通過證△BOG≌△OAE得到其對應角相等解決問題；
③過M作x軸的垂線，通過證明△PBO≌△MPN得出MN=AN，轉化到等腰直角三角形中去就很好解決了．

解答：解：①∵

a-4

+|4-b|=0
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）作∠AOB的角平分線，交BD于G，
∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA，
∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF，
∴△BOG≌△OAE，
∴OG=AE．
∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD，
∴△GOD≌△EDA．
∴∠GDO=∠ADE．

（3）過M作MN⊥x軸，垂足為N．
∵∠BPM=90°，
∴∠BPO+∠MPN=90°．
∵∠AOB=∠MNP=90°，
∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．
∵BP=MP，
∴△PBO≌△MPN，
MN=OP，PN=AO=BO，
OP=OA+AP=PN+AP=AN，
∴MN=AN，∠MAN=45°．
∵∠BAO=45°，
∴∠BAO+∠OAQ=90°
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴無論P點怎么動OQ的長不變．

點評：（1）考查的是根式和絕對值的性質．
（2）考查的是全等三角形的判定和性質．
（3）本題靈活考查的是全等三角形的判定與性質，還有特殊三角形的性質．