Question

如圖，直線AB交x軸于點A（2，0），交拋物線y=ax²于點B（1，

3

），點C到△OAB各頂點的距離相等，直線AC交y軸于點D．
（1）填空：a=

 

，△OAB是

 

三角形．
（2）連接BC與BD，求四邊形OCBD的面積；
（3）當x＞0時，在直線OC和拋物線y=ax²上是否分別存在點P和點Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點B的坐標代入拋物線可以求出a的值．（2）利用兩點間距離公式求出線段OA，OB以及AB的長，判斷△OAB的形狀．（2）結合圖形求出點C，D的坐標，判斷四邊形OCBD是平行四邊形，然后求出平行四邊形的面積．
（3）從等腰梯形，直角梯形和平行四邊形等幾種情況直接寫出點P的坐標．

解答：解：（1）把點B的坐標代入拋物線有：a=

3

．
OA=2，OB=

12+ 3 2

=2，AB=

(2-1)2+  3 2

=2，
∴OA=OB=AB，
所以△OAB是等邊三角形．
故答案是：a=

3

．△OAB是等邊三角形；

（2）∵點C到△OAB各個頂點的距離相等，
∴點C是△OAB的外心，
∴C（1，

3

3

）
∵B（1，

3

），
∴BC=

2 3

3

．
在直角△OAD中，OA=2，∠OAD=30°，
∴OD=

2 3

3

．
所以四邊形OCBD是平行四邊形．
S_OCBD=OD×1=

2 3

3

．
因此OCBD的面積為

2 3

3

；

（3）當點P（

2

3

，

2 3

9

），點Q（

2

3

，

4 3

9

）時，DOPQ是等腰梯形．
當點P（

6

3

，

2

3

），點Q（

6

3

，

2 3

3

）時，DOPQ是直角梯形．
∴P1(

2

3

，

2

9

3

)，P₂（

6

3

，

2

3

）．

點評：本題考查的是拋物線的綜合題，（1）把點的坐標代入拋物線，求出字母系數a的值，求三角形三邊的長確定三角形的形狀．（2）根據點C是三角形的外心，判斷四邊形OCBD是平行四邊形，然后求出平行四邊形的面積．（3）根據特殊梯形寫出點P的坐標．