Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120，以A為頂點的的等邊三角形ADE繞點A在∠BAC內旋轉，AD、AE與BC邊分別交于點F、G若點B關于直線AD的對稱點為M，MG⊥BC，則BF的長為____________.

Answer 1

【答案】

【解析】作AH⊥BC于H，如圖1，

∵AB=AC=6，∠BAC=120°，

∴∠B=30°，BH=CH，

在Rt△ABH中，AH=AB=3，BH=AH=3，，

∴BC=2BH=6，

把△ACG繞點A順時針旋轉120°得到△ABN，連結FN、AM，FM，如圖2，

則BN=CG，AG=AG，∠ABN=∠C=30°，∠1=∠BAN，

∴∠FBN=60°，

∵∠FAG=60°，

∴∠1+∠2=60°，

∴∠FAN=60°，

在△AFG和△AFN中， ，

∴△AFG≌△AFN，

∴FG=FN，

∵點B關于直線AD的對稱點為M，

∴FB=FM，AB=AM，∠2=∠3，

而∠3+∠4=60°，∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠4，

而AC=AB=AM，

∴△AMG與△ACG關于AG對稱，

∴GM=GC，

∴GM=BN，

在△FMG和△FBN中， ，

∴△FMG≌△FBN，

∴∠FGM=∠BNF=90°，

在Rt△BFN中，∵∠FBN=60°，∴BN=BF，FN=BF，

∴CG=BF，FG=BF，

∴BF+BF+BF=BC=6，

∴BF=6-6，

故答案為：6-6．