Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交△BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）探究OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請加以證明；若不是，則說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)O在AC運(yùn)動(dòng)到什么位置，四邊形AECF是矩形，請說明理由；
（4）在（3）問的基礎(chǔ)上，△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）解：OE=OF，

理由：∵M(jìn)N∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，

∴OE=OF

（2）解：不可能．

如圖所示，

連接BF，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= （∠ACB+∠ACD）=90°，

若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，

但在△GFC中，不可能存在兩個(gè)角為90°，所以不存在其為菱形

（3）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

理由如下：

∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，

又∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四邊形AECF是矩形

（4）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．

∵由（3）知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則

∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形．

【解析】（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．（2）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．（3）由（1）得出的EO=CO=FO，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，則由EO=CO=FO=AO，所以這時(shí)四邊形AECF是矩形．（4）由已知和（3）得到的結(jié)論，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的判定方法和矩形的判定方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．